Задача 34988

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что ни при каком натуральном m число  1998^m – 1  не делится на 1000^m – 1.

Подсказка

Если число A делится на B, то  A – B  также делится на B.

Решение 1

Если число  1998^m – 1  делится на  1000^m – 1,  то при этом m разность  (1998^m – 1) – (1000^m – 1) = 1998^m – 1000^m = 2^m(999^m – 500^m)  также делится на
1000^m – 1.  Поскольку  1000^m – 1  – число нечётное, то на  1000^m – 1  должна делиться также разность  999^m – 500^m.  Но это невозможно, так как
999^m – 500^m < 1000^m – 1.

Решение 2

Число  1000^m – 1  делится на 9, а  1998^m – 1  – не делится (так как 1998 делится на 9).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача