Условие
Можно ли все натуральные числа разбить на пары так, чтобы сумма
чисел в каждой паре была квадратом целого числа?
Подсказка
Выбирайте пары последовательно одну за другой,
выбирая при этом первое число каждой пары как наименьшее среди еще
не выбранных, а второе - так, чтобы выполнялось условие задачи.
Решение
Выбираем пары натуральных чисел последовательно одну за другой.
Первое число A каждой пары выбираем как наименьшее среди еще
не выбранных. Второе число в каждой паре выбираем среди чисел
вида
B=m
2-A, при этом натуральное m подбираем так, чтобы
число B также было еще не выбрано
(это возможно, так как число m может быть любым из
бесконечного множества натуральных чисел).
Описанный бесконечный процесс даст в результате нужное
разбиение на пары.
Вот пример начала процесса разбиения на пары:
(1,3), (2,7), (4,12), (5,20), (6,30), (8,41), ...
Ответ
можно.
Источники и прецеденты использования
