Информация о задаче

Задача 52395

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема Мансиона..

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.

Подсказка

Пусть вневписанная окружность касается стороны AB треугольника ABC. Точки A, B и центры O₁ и O₂ вписанной и вневписанной окружностей лежат на окружности с центром в середине отрезка O₁O₂.

Решение

Пусть вневписанная окружность касается стороны AB треугольника ABC;

$\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ CBA = $\displaystyle \gamma$ ;

O₁, O₂ — центры вписанной и вневписанной окружностей соответственно, M — середина O₁O₂.

Поскольку отрезок O₁O₂ виден из точек A и B под прямым углом, то M — центр окружности, описанной около четырёхугольника AO₁BO₂. Тогда

$\displaystyle \angle$ AO₂B = $\displaystyle \angle$ AO₂O₁ + $\displaystyle \angle$ BO₂O₁ = $\displaystyle \angle$ O₁BA + $\displaystyle \angle$ O₁AB = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

$\displaystyle \angle$ AMB = 2 $\displaystyle \angle$ AO₂B = 180^o - $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно, точки A, C, B и M лежат на одной окружности, т.е. на окружности, описанной около треугольника ABC.

Замечания

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	57


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	12
Год	1949
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	5