ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56891
Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.


Решение

  Пусть из вершины A окружности, вписанные в углы B и C, видны под углами αb и αc, а радиусы этих окружностей равны rb и rc. Тогда
b = rc(ctg γ/2 + ctg αc/2)  и  c = rb(ctg β/2 + ctg αb/2).
  Поэтому равенство αb и αc эквивалентно равенству  b/rc – ctg γ/2 = c/rb – ctg β/2,  то есть     После несложных преобразований получаем равенство     Ясно, что из этого равенства и из равенства     следует равенство  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 6
Название Разные задачи
Тема Треугольники (прочее)
задача
Номер 05.054.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .