ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57066
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.


Решение

  а) Пусть O – центр описанной окружности. Так как  ∠AkOAk+2 = 360° – 2∠AkAk+1Ak+2 = φ   – постоянная величина, то при повороте с центром O на угол φ точка Ak переходит в Ak+2. Для нечётного n из этого следует, что все стороны многоугольника A1...An равны.

  б) Пусть a – длина стороны данного многоугольника. Если одна из его сторон делится точкой касания с вписанной окружностью на отрезки длины x и  ax,  то соседние с ней стороны тоже делятся на отрезки длины x и  ax  (смежные отрезки соседних сторон равны) и т. д. Для нечётного n из этого следует, что все стороны A1...An делятся точками касания с вписанной окружностью пополам, а значит, все его углы равны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.053

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .