ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57072
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В правильном восемнадцатиугольнике A0...A17 проведены диагонали A0Ap+3, Ap+1A18–r и A1Ap+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.


Решение

  Применим теорему Чевы (см. зад. 35216) к шестиугольнику A0A1Ap+1Ap+3Ap+q+3A18–r.

  а) Надо проверить равенство  sin 10° sin 20° sin 70° = sin 10° sin 30° sin 40°. Имеем  sin 20° sin 70° = sin 20° cos 20° = ½ sin 40° = sin 30° sin 40°.

  б) Надо проверить равенство  sin 10° sin 20° sin 80° = sin 20° sin 20° sin 30°.  Оно проверяется аналогично:
sin 10° sin 80° = sin 10° cos 10° = ½ sin 20° = sin 20° sin 30°.

Замечания

В книге Прасолова задача дана в несколько другой формулировке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.059

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .