ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57401
Тема:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4R.

Решение

Первое решение. Любой треугольник периметра P можно поместить в круг радиуса P/4, а если остроугольный треугольник помещен в круг радиуса R1, то R1 $ \geq$ R (задача 9.92). Поэтому  P/4 = R1 $ \geq$ R.

Второе решение. Если 0 < x < $ \pi$/2, то  sin x > 2x/$ \pi$. Поэтому  a + b + c = 2R(sin$ \alpha$ + sin$ \beta$ + sin$ \gamma$) > 2R(2$ \alpha$ + 2$ \beta$ + 2$ \gamma$)/$ \pi$ = 4R.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 11
Название Разные задачи
Тема Геометрические неравенства (прочее)
задача
Номер 09.093

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .