ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57687
Темы:    [ Векторы сторон многоугольников ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано n попарно не сонаправленных векторов (n$ \ge$3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый n-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

Решение

Отложим данные векторы от одной точки и, идя по часовой стрелке, занумеруем их по порядку: a1,...,an. Рассмотрим замкнутую ломаную A1...An, для которой $ \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ = ai. Докажем, что A1...An — выпуклый многоугольник. Введем систему координат, направив ось Ox по вектору  a1. Пусть векторы a2,...,ak лежат по одну сторону от оси Ox, а векторы ak + 1,...,an — по другую (если есть вектор, противоположно направленный с  a1, то его можно отнести в любую из этих двух групп). Проекции векторов первой группы на ось Oy имеют один знак, а проекции векторов второй группы — другой. Поэтому вторые координаты как точек A2, A3,..., Ak + 1, так и точек Ak + 1,..., An, A1 изменяются монотонно: в первом случае от нуля до некоторой величины d, а во втором — от d до нуля. Так как интервалов монотонности только два, все вершины многоугольника лежат по одну сторону от прямой A1A2. Для остальных прямых, проходящих через стороны многоугольника, доказательство проводится аналогично.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 1
Название Векторы сторон многоугольников
Тема Векторы сторон многоугольников
задача
Номер 13.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .