ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57692
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ($ \overrightarrow{AB}$,$ \overrightarrow{CD}$) + ($ \overrightarrow{BC}$,$ \overrightarrow{AD}$) + ($ \overrightarrow{CA}$,$ \overrightarrow{BD}$) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

а) Выразим все входящие в указанную формулу векторы через $ \overrightarrow{AB}$, $ \overrightarrow{BC}$ и  $ \overrightarrow{CD}$, т. е. запишем $ \overrightarrow{AD}$ = $ \overrightarrow{AB}$ + $ \overrightarrow{BC}$ + $ \overrightarrow{CD}$, $ \overrightarrow{CA}$ = - $ \overrightarrow{AB}$ - $ \overrightarrow{BC}$ и  $ \overrightarrow{BD}$ = $ \overrightarrow{BC}$ + $ \overrightarrow{CD}$. После сокращения получим требуемое.
б) Пусть D — точка пересечения высот, проведенных из вершин A и C треугольника ABC. Тогда в доказанной в задаче а) формуле первые два слагаемых нулевые, поэтому последнее слагаемое тоже нулевое, т. е. BD $ \perp$ AC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .