Условие
Пусть
a1,
a2,...,
an — векторы,
длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме
c = ±
a1±
a2...±
an можно
выбрать знаки так, что
|
c|
.
Решение
Докажем сначала, что если
a,
b и
c —
векторы, длины которых не превосходят 1, то хотя бы один из
векторов
a±
b,
a±
c,
b±
c
имеет длину, не превосходящую 1. В самом деле, два
из векторов
±
a,
±
b,
±
c образуют угол,
не превосходящий
60
o, поэтому разность этих двух векторов
имеет длину, не превосходящую 1 (если в треугольнике
AB1,
BC1
и
ABC60
o, то
AC — не наибольшая сторона
и
AC1).
Таким образом можно спуститься до двух векторов
a и
b.
Угол между векторами
a и
b или векторами
a
и
-
b не превосходит
90
o, поэтому либо
|
a -
b|
, либо
|
a +
b|
.
Источники и прецеденты использования
