Информация о задаче

Задача 57739

Тема:

[

Псевдоскалярное произведение

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что

S² - S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.

Решение

Пусть x = x₁e₁ + x₂e₂. Тогда e₁ $\vee$ x = x₂(e₁ $\vee$ e₂) и x $\vee$ e₂ = x₁(e₁ $\vee$ e₂), т. е.

x = ((x $\displaystyle \vee$ e₂)e₁ + (e₁ $\displaystyle \vee$ x)e₂)/(e₁ $\displaystyle \vee$ e₂).

Домножив это выражение справа на (e₁ $\vee$ e₂)y, получим

(x $\displaystyle \vee$ e₂)(e₁ $\displaystyle \vee$ y) + (e₁ $\displaystyle \vee$ x)(e₂ $\displaystyle \vee$ y) + (e₂ $\displaystyle \vee$ e₁)(x $\displaystyle \vee$ y) = 0.1)

Пусть e₁ = $\overrightarrow{AB}$ , e₂ = $\overrightarrow{AC}$ , x = $\overrightarrow{AD}$ и y = $\overrightarrow{AE}$ . Тогда S = a + x $\vee$ e₂ + d = c + y $\vee$ e₂ + a = d + x $\vee$ e₁ + b, т. е. x $\vee$ e₂ = S - a - d, y $\vee$ e₂ = S - c - a и x $\vee$ e₁ = S - d - b. Подставив эти выражения в (1), получим требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	7
Название	Псевдоскалярное произведение
Тема	Псевдоскалярное произведение
задача
Номер	13.056