Задача 58355

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 8- Классы: 9,10,11

Условие

Пусть на двух пересекающихся прямых l₁ и l₂ выбраны точки M₁ и M₂, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M₁, M₂ и M.
Если (l₁, M₁), (l₂, M₂), (l₃, M₃) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l₁, M₁) и (l₂, M₂), (l₂, M₂) и (l₃, M₃), (l₃, M₃) и (l₁, M₁), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

Решение

а) Обозначим через M_ij точку пересечения прямых l_i и l_j. Тогда точка A₁, соответствующая тройке l₂, l₃, l₄, — это точка пересечения описанных окружностей треугольников M₂M₃M₂₃ и  M₃M₄M₃₄. Рассуждая аналогично для точек A₂, A₃ и A₄, мы получим, что точки A₁, A₂, A₃ и A₄ лежат на одной окружности согласно задаче 28.31, так как точки M₁, M₂, M₃, M₄ лежат на одной окружности.
б) Как и в задаче 28.35, б), докажем утверждение по индукции, рассматривая отдельно случаи четного и нечетного n.
Пусть n четно и A_i, S_ij, A_ijk и S_ijkm обозначают точки и окружности, соответствующие наборам из n - 1, n - 2, n - 3 и n - 4 прямых. Докажем, что точки A₁, A₂, A₃, A₄ лежат на одной окружности. По определению точек A_i и A_ijk окружности S₁₂ и S₂₃ пересекаются в точках A₂ и A₁₂₃; S₂₃ и S₃₄ — в точках A₃ и A₂₃₄; S₃₄ и S₄₁ — в точках A₄ и A₁₃₄; S₄₁ и S₁₂ — в точках A₁ и A₁₂₄. Точки A₁₂₃, A₂₃₄, A₁₃₄ и A₁₂₄ лежат на окружности S₁₂₃₄, поэтому согласно задаче 28.31 точки A₁, A₂, A₃, A₄ лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что и любые четыре из точек A_i (и, следовательно, все они) лежат на одной окружности.
Доказательство в случае нечетного n5 дословно повторяет доказательство утверждения задачи 28.35, б) для случая четного n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	5
Название	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
Тема	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
задача
Номер	28.036