ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58366
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.

Решение

Пусть ABCDE — правильный пятиугольник. Согласно задаче 29.6, б) существует аффинное преобразование, которое три последовательные вершины данного пятиугольника переводит в точки A, B, C. Пусть D' и E' — образы остальных двух вершин при этом преобразовании. Докажем, что они совпадают с D и E.
С одной стороны, AD'| BC и CE'| AB, поэтому точка D' лежит на прямой AD, а точка E' — на прямой CE. С другой стороны, E'D'| AC| ED, поэтому если бы точки D' и E' не совпадали с точками D и E, то либо они обе были бы вне полосы, ограниченной прямыми AE и BD (рис., а), либо обе внутри этой полосы (рис., б). В обоих случаях прямые AE' и BD' не были бы параллельны.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.006.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .