ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58369
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дан многоугольник A1A2...An и точка O внутри его. Докажите, что равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,    
 1$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_4}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$,    
to4.5cm $\displaystyle \dotfill$    
$\displaystyle \overrightarrow{OA_{n-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_n}$.    

необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.


Решение

Докажем сначала, что если A1A2...An — правильный многоугольник, вписанный в единичную окружность, а O — его центр, то указанные в условии задачи равенства выполняются, т. е.

$\displaystyle \overrightarrow{OA_{i-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_{i+1}}$ = 2k$\displaystyle \overrightarrow{OA_i}$,    i = 1,..., n1)

(мы считаем, что A0 = An и An + 1 = A1; через k обозначено число cos(2$ \pi$/n)). Для этого при каждом фиксированном i выберем на плоскости систему координат с центром в точке O и осью Ox, направленной вдоль луча OAi. Тогда точки Ai - 1, Ai и Ai + 1 имеют координаты $ \bigl($k, - sin(2$ \pi$/n)$ \bigr)$, (1, 0) и $ \bigl($k, sin(2$ \pi$/n)$ \bigr)$ соответственно. Равенство (1) при данном i теперь легко проверяется.
В силу задачи 29.4 равенства (1) выполняются также для образа правильного n-угольника при аффинном преобразовании.
Наоборот, пусть для многоугольника A1A2...An и точки O внутри его выполнены равенства (1). Возьмем правильный многоугольник B1B2...Bn с центром O и рассмотрим аффинное преобразование L, которое переводит треугольник OB1B2 в треугольник OA1A2. Докажем индукцией по i, что L(Bi) = Ai для всех i$ \ge$2. При i = 2 это утверждение следует из определения отображения L. Предположим, что мы его доказали для всех чисел, не превосходящих i, и докажем для i + 1. Так как для правильных многоугольников равенства (1) уже доказаны, а для многоугольника A1A2...An они выполнены по предположению, то

\begin{multline*}
\overrightarrow{OA_{i+1}}=
2k\overrightarrow{OA_i}-\overrigh...
...B_i}-\overrightarrow{OB_{i-1}})
=L(\overrightarrow{OB_{i+1}}).
\end{multline*}


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.008.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .