Условие
Докажите, что любой выпуклый шестиугольник
ABCDEF, в котором каждая сторона
параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в
шестиугольник с равными диагоналями
AD,
BE и
CF.
Решение
Пусть
A1,
B1, ...,
F1 — середины сторон
AB,
BC,
...,
FA. Равенство диагоналей
AD и
BE эквивалентно тому, что прямая
A1D1 перпендикулярна прямым
AB и
DE. Пусть
O — точка пересечения
прямых
A1D1 и
B1E1. Нужно построить аффинное преобразование, которое
переводит углы
A1 и
B1 четырехугольника
A1BB1O в прямые углы. Для
этого можно воспользоваться результатом задачи
29.13B. То, что точки
пересечения продолжений сторон четырехугольника
A1BB1O расположены именно
так, как нужно, следует из выпуклости шестиугольника.
Источники и прецеденты использования
