ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58379
Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Решение

Поскольку аффинным преобразованием любой треугольник переводится в правильный (задача 29.6, б)) и при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков (задача 29.5), достаточно доказать утверждение задачи для правильного треугольника ABC. Пусть точки A1, A2, B1, B2, C1, C2 делят стороны треугольника на равные части, а A', B', C' — середины сторон (рис.). При симметрии относительно AA' прямая BB1 перейдет в CC2, а прямая BB2 — в CC1. Поскольку симметричные прямые пересекаются на оси симметрии, AA' содержит диагональ рассматриваемого шестиугольника. Аналогично оставшиеся диагонали лежат на BB' и CC'. Ясно, что медианы AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 2
Название Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер 29.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .