Задача 64361

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Решение

  Пусть  n ≥ 2,  и  3 = p₁ < ... < p_k  – первые k нечётных простых чисел. Предположим, что   p₁...p_k = aⁿ + 1.     (*)
  Возможны два случая.
  1)  a – степень двойки. Степени двойки дают лишь остатки 1, 2 и 4 при делении на 7, а  aⁿ + 1  делится на 7 при  k ≥ 3. Значит,  k ≤ 2,  и возможными значениями для aⁿ являются лишь  3 – 1 = 2  и  3·5 – 1 = 14.  Оба варианта не подходят.
  2) У числа a есть нечётный простой делитель. Отсюда следует (см. решение задачи 64353), что  aⁿ + 1 > p₁...p_k,  а это противоречит равенству (*).

Ответ

Таких k не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
Вариант	5
класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.3