ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64781
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральное число n назовём хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа  n + 1.
Найдите все хорошие натуральные числа.


Решение

  Ясно, что  n = 1  удовлетворяет условию. Также ему удовлетворяют все нечётные простые числа: делители такого числа p, увеличенные на 1, есть 2 и
p + 1;  оба они делят  p + 1. 
  С другой стороны, у любого числа n, удовлетворяющего условию, есть делитель 1; значит,  n + 1  делится на  1 + 1,  то есть n нечётно.
  Предположим, что какое-то составное  n = ab,  где  a ≥ b ≥ 2,  удовлетворяет условию. Тогда число  n + 1  делится на  a + 1  и число  n + b = (a + 1)b  также делится на  a + 1.  Значит, и число  b – 1 = (n + b) – (n + 1)  также делится на  a + 1.  Так как  b – 1 > 0,  получаем, что  b – 1 ≥ a + 1.  Но это противоречит неравенству  b ≤ a.


Ответ

Единица и все нечётные простые числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .