ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64976
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Восстановите равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  по точкам I, M, H пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.


Решение

  Центр O описанной окружности треугольника лежит на продолжении HM за точку M, и  MO = ½ HM.  Кроме того, прямые BI, CI являются биссектрисами углов OBH, OCH  (∠CBH = ∠ABO = π/2 – ∠C).  Следовательно,  BO : BH = CO : CH = IO : IH,  то есть точки B, C лежат на окружности Аполлония точек O и H, проходящей через I. Но центр окружности BIC лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 53119). Таким образом, получаем следующее построение.
  Построим точку O и указанную окружность Аполлония. Затем построим окружность с центром O, проходящую через центр этой окружности. Две окружности пересекутся в точках B, C, а прямая OH вторично пересечёт описанную окружность в точке A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .