ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65049
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
  б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.


Решение

  а) Пусть Pa, Pb, Pc – середины высот AHa, BHb, CHc. Очевидно, что точки A', B', C' лежат на сторонах треугольника PaPbPc и делят их в тех же отношениях, в каких точки A1, B1, C1 делят стороны треугольника ABC. Осталось воспользоваться теоремой Менелая.

  б) Если l проходит через центр O описанной окружности, то (как видно из вышеизложеного) l' проходит через точку O', в которую перейдёт O при аффинном преобразовании, переводящем треугольник ABC в треугольник PaPbPc. Поэтому достаточно проверить наше утверждение для каких-то двух прямых, проходящих через O. Например, для прямых, проходящих через какую-нибудь вершину треугольника.
  Пусть C1 – точка пересечения CO и AB,  X, Y – проекции C1 на AC и BC; A0, B0, C0 – середины BC, CA, AB,  U, V – середины XY и A0B0Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к A0B0 с UPc (см. рис.). Так как  XY || AB,  точки V, U лежат на медиане СС0. Значит,
VQ : CPc = UV : UC = C1O : CC1,  откуда  VQ = ½ OC0  и Q – центр описанной окружности треугольника A0B0C0, то есть окружности девяти точек.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
тур
задача
Номер 23

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .