Задача 65247
|
|
 |
Условие
Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального k сумма любых k идущих подряд членов этой последовательности делится на k + 1?
Решение
Предположим, что такая последовательность нашлась. Рассмотрим первые 2k – 1 членов a1, a2, ..., a2k–1 этой последовательности. Сумма
a1 + a2 + ... + a2k–1 делится на 2k, а каждая из сумм a2 + a3 + ... + ak и ak+1 + ak+2 + ... + a2k–1 делится на k.
Отсюда следует, что a1 делится на k при всех k. Это невозможно.
Ответ
Не существует.
