ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65362
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Удвоение медианы ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  AB = BC,  ∠B = 20°.  Точка M на основании AC такова, что  AM : MC = 1 : 2,  точка H – проекция C на BM. Найдите угол AHB.


Решение

  Достроим треугольник до ромба ABCD. Пусть O – центр ромба. Тогда прямая BM делит медиану AO треугольника ABD в отношении  2 : 1.  Значит, эта прямая тоже является медианой, то есть проходит через середину K отрезка AD.
  Заметим, что точки O и H лежат на окружности с диаметром BC. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  ∠KHO = ∠BCO = ∠KAO.  Следовательно, четырёхугольник AHOK – вписанный и  ∠AHK = ∠AOK = 80°,  а  ∠AHB = 100°  (см. рис.).

  Второй способ.  MH·MB = MO·MC = MA².  Поэтому указанная окружность касается прямой AC, откуда  ∠AHB = 180° – ∠BAC = 100°.


Ответ

100°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .