ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65369
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мухин Д.

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.


Решение

По теореме об угле между касательной и хордой  ∠ACM = ∠CBA  и  ∠BCN = ∠CAB.  Поскольку угол ACB тупой, точки A, M, N, B лежат на прямой AB именно в таком порядке. По теореме о касательной и секущей   AM = AC²/AB  и  BN = BC²/AB.  Применив сначала неравенство Коши, а затем неравенство треугольника, получаем, что  ,  что равносильно доказываемому неравенству.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .