Задача 65369

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Мухин Д.Г.

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

Решение

По теореме об угле между касательной и хордой  ∠ACM = ∠CBA  и  ∠BCN = ∠CAB.  Поскольку угол ACB тупой, точки A, M, N, B лежат на прямой AB именно в таком порядке. По теореме о касательной и секущей   AM = ^AC²/_AB  и  BN = ^BC²/_AB.  Применив сначала неравенство Коши, а затем неравенство треугольника, получаем, что  ,  что равносильно доказываемому неравенству.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1