ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65692
Темы:    [ Многочлены (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Про приведённый многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2  многочлен    имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?


Решение

  Для любого натурального  k ≥ 1  положим    По условию Pm(x) имеет действительные корни, причём только положительные.
  Предположим, что P(x) не имеет положительных корней. Тогда  P(x) > 0  при достаточно больших x и не меняет знак при  x > 0,  то есть P переводит положительные числа в положительные. Значит, тем же свойством обладают все многочлены Pk. Это противоречит тому, что у Pm(x) есть положительные корни. Поэтому многочлен P(x) также имеет положительные корни.
  Если  P(0) = 0,  то  Pm(0) = 0.  Значит, 0 не является корнем многочлена P(x).

  Предположим, что у P(x) есть и отрицательный, и положительный корни. Докажем по индукции, что тогда при всех натуральных k многочлен Pk(x) также имеет и отрицательный, и положительный корни.
  База. При  k = 1  утверждение верно.
  Шаг индукции. Обозначим через x1 и x2 соответственно наименьший и наибольший корни многочлена P(x), а через x3 и x4 соответственно наименьший и наибольший корни многочлена Pk(x). Тогда  x1 < 0,  x2 > 0,  x3 < 0,  x4 > 0.  Если n нечётно, многочлен P(x) принимает все значения от
– ∞  до 0 до на луче  (– ∞, x1].  Значит, на этом луче найдётся такое число x5, что  P(x5) = x3.  Если n чётно, многочлен P(x) принимает все значения от 0 до  + ∞  на луче  (– ∞, x1].  Значит, на этом луче найдётся такое число x5, что  P(x5) = x4.  В обоих случаях многочлен P(x) принимает все значения от 0 до  + ∞  на луче  [x2, + ∞).  Значит, на этом луче найдётся такое число x6, что  P(x6) = x4.  Следовательно, в обоих случаях  Pk+1(x5) = Pk(P(x5)) = 0  и  Pk+1(x6) = Pk(P(x6)) = 0.  При этом  x5 < 0  и  x6 > 0.
  Остаётся единственная возможность: многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные.


Ответ

Обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 11
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .