ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65695
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?


Решение

  Рассмотрим степени двойки, на которые делятся выписанные числа; пусть 2k – наибольшая из них. Если хотя бы два выписанных числа делятся на 2k, то два соседних таких числа будут различаться на 2k. Значит, одно из них будет делиться на 2k+1, что невозможно в силу выбора k. Следовательно, среди выписанных чисел ровно одно делится на 2k.
  Наименьшее общее кратное (НОК) группы, содержащей это число, будет делиться на 2k, а НОК оставшейся группы – не будет. Значит, сумма этих НОК не делится на 2k; с другой стороны, эта сумма больше, чем 2k. Поэтому эта сумма не может быть степенью двойки.


Ответ

Не может.

Замечания

Ср. с задачей 65700.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .