ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65965
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Уравнения высших степеней (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите систему уравнений:
  x³ – y = 6,
  y³ – z = 6,
  z³ – x = 6.


Решение

  Если  x ≥ y,  то  y = x³ – 6 ≥ y³ – 6 = z.  Аналогично отсюда получаем, что  z ≥ x.  Следовательно,  x ≥ y ≥ z ≥x,  откуда  x = y = z.
  Если  x ≤ y,  то аналогично доказываем, что  x = y = z.
  Таким образом, все уравнения исходной системы равносильны уравнению  x³ – x = 6.  Один из его корней –  x = 2  – очевиден. Поделив  x³ – x – 6  на  x – 2,  получим  x² + 2x + 3.  Но уравнение  x² + 2x + 3 = 0  корней не имеет.


Ответ

(2, 2, 2).

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .