Задача 66215

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радикальная ось ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

AA₁, BB₁, CC₁ – высоты треугольника ABC,  B₀ – точка пересечения BB₁ и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A₁C₁B₀. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.

Решение

Так как точки A₁, C₁ лежат на окружности с диаметром AC, прямые AC, A₁C₁ и B₀Q пересекаются в радикальном центре N окружностей Ω, ω и этой окружности. Пусть прямая BQ пересекает AC и A₁C₁ в точках P и M соответственно (см. рис.). Проецируя окружность Ω из точки Q на прямую AC, а затем эту прямую из точки B на A₁C₁, получаем равенство двойных отношений  (A₁, C₁, M, N) = (C, A, P, N) = (C, A, B, B₀) = ^BC/_BA : ^B₀C/_D0A.  Поскольку точка B₀ симметрична ортоцентру H треугольника ABC относительно AC (см. задачу 55463), вторая дробь равна  ^HC/_HA = ^CA₁/_AC1.  Применяя теорему Менелая к треугольнику A₁BC₁ и прямой AC, получаем, что  (A₁, C₁, M, N) = C₁N : A₁N,  то есть  A₁M = C₁M.  Следовательно, BM – медиана треугольника A₁BC₁ и симедиана треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	12