ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66314
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а Oa, Ob – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка OaOb лежит на прямой AB.


Решение

Пусть C′, D′ – точки касания окружностей с второй общей касательной. Углы ACD и ADC равны половинам дуг AC и AD соответствующих окружностей, а углы BCD и BDC – половинам дуг BC и BD, которые равны дугам C′A и D′A (см. рис.). Следовательно, сумма всех четырёх углов равна полусумме дуг C′AC и D′AD. Поскольку последняя дуга гомотетична дуге C′C, эта полусумма равна 180°. Значит, центры описанных окружностей треугольников CAD и CBD симметричны относительно CD, то есть середина отрезка OaOb совпадает с серединой CD, которая лежит на прямой AB (см. задачу 52779).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .