ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73810
Темы:    [ Неравенства с векторами ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Скалярное произведение ]
[ Условная сходимость ]
Сложность: 9
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Решение

Рассмотрим вначале "одномерную" задачу.

Лемма1. Пусть дано n чисел, таких, что каждое по модулю не превосходит 1 , а сумма всех равна 0 . Тогда их можно занумеровать так, чтобы при любом i n сумма первых i из них была по модулю не больше 1 .

Укажем один из способов нумерации (проверьте, что он приводит к цели). Разобьем данные числа на положительные: a1 , ... , ak и неположительные: b1 , ... , bn-k . Положим c1=a1 , c2=b1 . Если c1+c2<0 , положим c3=a2 ; если c1+c2 0 , положим c3=b2 . И вообще, если c1 , ... , cl уже выбраны, то при c1+...+cl<0 примем за cl+1 очередное положительное число, а при c1+...+cl 0 – очередное неположительное число.

Опираясь на лемму1, решим задачу M275 б). Приложим все данные векторы к некоторой точке O и выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы сумма s всех векторов, смотрящих вверх (в полуплоскость y>0 ), была направлена в точности по оси y . (Вопрос, как построить такую систему координат, мы обсудим позже.) Остальные векторы (смотрящие вниз) дадут тогда в сумме -s .

Сначала займемся векторами, смотрящими вверх. Их составляющие по оси x обозначим через p1 , ... , pk . Так как составляющая s по оси x равна 0 , то p1+...+pk=0 . По модулю каждое из чисел p1 , ... , pk не превосходит 1 . По лемме1 занумеруем числа p1 , ... , pk так, чтобы при всяком i k сумма первых i из них была по модулю не больше 1 . Тем самым мы занумеруем векторы, смотрящие вверх, так, что при всяком i k сумма первых i из них будет лежать в полосе |x| 1 (рис.1). Составляющие этих векторов по оси y (в выбранном порядке) обозначим через a1 , ... , ak .

Так же занумеруем векторы, смотрящие вниз, и их составляющие по оси y назовем b1 , ... , bn-k .

Теперь перейдем к сквозной нумерации всех данных векторов. Каждое из чисел a1 , ... , ak заключено между 0 и 1 , каждое из чисел b1 , ... , bn-k – между 0 и -1 , а сумма всех их равна 0 . Не меняя относительного порядка чисел a1 , ... , ak и относительного порядка чисел b1 , ... , bn-k , выпишем их по лемме1 в виде набора c1 , ... , cn так, чтобы при любом i n выполнялось неравенство |c1+...+ci| 1 . Таким образом, мы занумеруем все данные векторы так, что при всяком i n сумма первых i из них будет расположена в полосе |y| 1 . При этом (благодаря предварительной нумерации чисел a1 , ... , ak и b1 , ... , bn-k всякая такая сумма лежит и в полосе |x| 2 .

Итак, мы доказали, что n данных векторов можно обозначить через v1 , ... , vn так, что при всяком i n сумма v1+...+ vi лежит в прямоугольнике |x| 2 , |y| 1 , и, значит, | v1+...+ vi| .

Замечание1. Остается обосновать построение системы Oxy .

Разобьем все данные векторы на два класса, сумму векторов первого класса обозначим через s (тогда сумма векторов второго класса будет -s ). Всевозможных разбиений на два класса всего 2n (важно, что их конечное число). Выберем из них такое, для которого |s| принимает наибольшее значение, и направление именно этого вектора s примем за направление оси y .

(Убедитесь, что построенная система Oxy обладает нужным нам свойством.)

Замечание2. Из приведенного построения оси y видно, что ни один из данных векторов не перпендикулярен ей, следовательно, мы верно говорили о векторах, "смотрящих вниз" (вместо более осторожного "не вверх").

Упражнение1. Пусть в пространстве дано n векторов, таких, что каждый по модулю не превосходит 1 , a сумма всех равна 0 . Докажите, что их можно занумеровав так, чтобы при любом i n сумма первых i из них имела длину меньше C , где: а) C= , б) * C= .

Перейдем к задаче M275 а).

Лемма2. Пусть каждый из векторов e1 , ... , er имеет длину 1 , длина e0 не больше 1 , и e0+ e1+...+ er=0 . Тогда среди векторов e1 , ... , er найдется либо один вектор ei , либо пара векторов ej и ek , которые в сумме с e0 дают вектор e длины не больше 1 (либо | e0+ ei| 1 , либо | e0+ ej+ ek| 1 ). Во втором случае | e0+ ej|< .

Доказательство. Начертим два луча, OA и OB , образующие с e0 углы в 120o (рис.2). Если среди e1 , ... , er найдется вектор, лежащий внутри (или на сторонах) AOB , то его и примем за ei .

Пусть такого вектора среди e1 , ... , er нет. Проведем тогда через точку O прямую CD e0 . Среди векторов e1 , ... , er обязательно окажется вектор, лежащий внутри AOC или внутри BOD (иначе не выполняется условие e0+ e1+...+ er=0 ). Пусть для определенности хотя бы один из векторов e1 , ... , er лежит внутри BOD . Ближайший к OB из таких векторов назовем ej , а луч, направленный противоположно ему, обозначим через OE . Хотя бы один из векторов e1 , ... , er лежит внутри AOE (иначе опять не выполняется условие e0+ e1+...+ er=0 ). Ближайший к OA из этих векторов назовем ek . Угол между ej и ek меньше 180o , но больше AOB= 120o . Значит, сумма ej+ ek , образует и с ej и с ejk угол, больший 60o . Значит, вектор ej+ ek лежит внутри AOB , и, следовательно, | e0+ ej+ ek| 1 . При этом | e0+ ej|< .

Из леммы2 сразу следует, что в задаче M275 а) векторы можно занумеровать так, чтобы при всяком k n сумма первых k векторов имела длину меньше (доказательство– индукцией по n ).

Усложняя доказательство, можно еще улучшить оценку в задаче M275 а), а именно– заменить на .

Упражнение2. Получите в задаче M275 а) оценку . Докажите, что улучшить эту оценку уже нельзя, т.е. покажите, что для любого положительного C< можно указать на плоскости n единичных векторов с суммой 0 , таких, что, как бы их ни обозначать через v1 , ... , vn , при некотором k окажется справедливым неравенство | v1+...+ v1k|>C .

Было бы интересно получить неулучшаемую оценку и в задаче M275 б) (автору она неизвестна). Впрочем, для цели, ради которой предлагалась задача M275, точная оценка как раз не нужна. Упомянутая цель– доказательство комплексной теоремы Римана (см."Квант", 1973, #9. "От перемены мест слагаемых", упражнения22 и23).

Упражнение3. Опираясь на M275 б), выполните упражнение22 из статьи "От перемены мест слагаемых".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М275

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .