|
|
 |
Условие
а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых
б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с
в) Можно ли заменить
Решение
Рассмотрим вначале "одномерную" задачу.
Лемма1. Пусть дано n чисел, таких, что каждое по модулю не превосходит
1 , а сумма всех равна 0 . Тогда их можно занумеровать так, чтобы при любом
i n сумма первых i из них была по модулю не больше 1 .
Укажем один из способов нумерации (проверьте, что он приводит к цели). Разобьем
данные числа на положительные: a1 , ... , ak и неположительные:
b1 , ... , bn-k . Положим c1=a1 , c2=b1 . Если c1+c2<0 ,
положим c3=a2 ; если c1+c2 0 , положим c3=b2 . И вообще, если
c1 , ... , cl уже выбраны, то при c1+...+cl<0 примем за cl+1
очередное положительное число, а при c1+...+cl
0 – очередное
неположительное число.
Опираясь на лемму1, решим задачу M275 б). Приложим все данные векторы
к некоторой точке O и выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы
сумма s всех векторов, смотрящих вверх (в полуплоскость y>0 ), была
направлена в точности по оси y . (Вопрос, как построить такую систему координат,
мы обсудим позже.) Остальные векторы (смотрящие вниз) дадут тогда в сумме -s .
Сначала займемся векторами, смотрящими вверх. Их составляющие по оси x обозначим
через p1 , ... , pk . Так как составляющая s по оси x равна 0 , то
p1+...+pk=0 . По модулю каждое из чисел p1 , ... , pk не превосходит
1 . По лемме1 занумеруем числа p1 , ... , pk так, чтобы при всяком
i k сумма первых i из них была по модулю не больше 1 . Тем самым мы
занумеруем векторы, смотрящие вверх, так, что при всяком i
k сумма первых
i из них будет лежать в полосе |x|
1 (рис.1). Составляющие этих
векторов по оси y (в выбранном порядке) обозначим через a1 , ... , ak .
Так же занумеруем векторы, смотрящие вниз, и их составляющие по оси y назовем
b1 , ... , bn-k .
Теперь перейдем к сквозной нумерации всех данных векторов. Каждое из чисел
a1 , ... , ak заключено между 0 и 1 , каждое из чисел b1 , ... ,
bn-k – между 0 и -1 , а сумма всех их равна 0 . Не меняя
относительного порядка чисел a1 , ... , ak и относительного порядка
чисел b1 , ... , bn-k , выпишем их по лемме1 в виде набора
c1 , ... , cn так, чтобы при любом i n выполнялось неравенство
|c1+...+ci|
1 . Таким образом, мы занумеруем все данные векторы
так, что при всяком i
n сумма первых i из них будет расположена
в полосе |y|
1 . При этом (благодаря предварительной нумерации чисел
a1 , ... , ak и b1 , ... , bn-k всякая такая сумма лежит
и в полосе |x|
2 .
Итак, мы доказали, что n данных векторов можно обозначить через
v1 , ... , vn так, что при всяком i n
сумма v1+...+ vi лежит в прямоугольнике |x|
2 ,
|y|
1 , и, значит, | v1+...+ vi|
.
Замечание1. Остается обосновать построение системы Oxy .
Разобьем все данные векторы на два класса, сумму векторов первого класса
обозначим через s (тогда сумма векторов второго класса будет -s ).
Всевозможных разбиений на два класса всего 2n (важно, что их конечное число).
Выберем из них такое, для которого |s| принимает наибольшее значение, и
направление именно этого вектора s примем за направление оси y .
(Убедитесь, что построенная система Oxy обладает нужным нам свойством.)
Замечание2. Из приведенного построения оси y видно, что ни один из
данных векторов не перпендикулярен ей, следовательно, мы верно говорили
о векторах, "смотрящих вниз" (вместо более осторожного "не вверх").
Упражнение1. Пусть в пространстве дано n векторов, таких, что каждый
по модулю не превосходит 1 , a сумма всех равна 0 . Докажите, что их можно
занумеровав так, чтобы при любом i n сумма первых i из них имела длину
меньше C , где: а) C=
, б) * C=
.
Перейдем к задаче M275 а).
Лемма2. Пусть каждый из векторов e1 , ... ,
er имеет длину 1 , длина e0 не больше 1 , и
e0+ e1+...+ er=0 . Тогда среди векторов
e1 , ... , er найдется либо один вектор
ei , либо пара векторов ej и ek , которые
в сумме с e0 дают вектор e длины не больше 1 (либо
| e0+ ei| 1 , либо | e0+ ej+
ek|
1 ). Во втором случае | e0+ ej|<
.
Доказательство. Начертим два луча, OA и OB , образующие
с e0 углы в 120o (рис.2). Если среди e1 ,
... , er найдется вектор, лежащий внутри (или на сторонах)
AOB , то его и примем за ei .
Пусть такого вектора среди e1 , ... , er нет.
Проведем тогда через точку O прямую CD e0 . Среди векторов
e1 , ... , er обязательно окажется вектор, лежащий
внутри
AOC или внутри
BOD (иначе не выполняется условие
e0+ e1+...+ er=0 ). Пусть для определенности
хотя бы один из векторов e1 , ... , er лежит внутри
BOD . Ближайший к OB из таких векторов назовем ej , а луч,
направленный противоположно ему, обозначим через OE . Хотя бы один из векторов
e1 , ... , er лежит внутри
AOE (иначе
опять не выполняется условие e0+ e1+...+ er=0 ).
Ближайший к OA из этих векторов назовем ek . Угол между
ej и ek меньше 180o , но больше
AOB=
120o . Значит, сумма ej+ ek , образует и с ej
и с ejk угол, больший 60o . Значит, вектор ej+
ek лежит внутри
AOB , и, следовательно, | e0+
ej+ ek|
1 . При этом | e0+ ej|<
.
Из леммы2 сразу следует, что в задаче M275 а) векторы можно занумеровать
так, чтобы при всяком k n сумма первых k векторов имела длину меньше
(доказательство– индукцией по n ).
Усложняя доказательство, можно еще улучшить оценку в задаче M275 а),
а именно– заменить на
.
Упражнение2. Получите в задаче M275 а) оценку .
Докажите, что улучшить эту оценку уже нельзя, т.е. покажите, что для любого
положительного C<
можно указать на плоскости n единичных
векторов с суммой 0 , таких, что, как бы их ни обозначать через v1 ,
... , vn , при некотором k окажется справедливым неравенство
| v1+...+ v1k|>C .
Было бы интересно получить неулучшаемую оценку и в задаче M275 б) (автору
она неизвестна). Впрочем, для цели, ради которой предлагалась задача M275,
точная оценка как раз не нужна. Упомянутая цель– доказательство комплексной
теоремы Римана (см."Квант", 1973, #9. "От перемены мест слагаемых",
упражнения22 и23).
Упражнение3. Опираясь на M275 б), выполните упражнение22 из статьи "От перемены мест слагаемых".
