Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).
Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся как m : n.
Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида np – p не делятся на q.
Найдите все такие натуральные (a, b), что a2 делится на натуральное число 2ab2 – b3 + 1.
Пусть x1≤⋯≤xn. Докажите неравенство (n∑i,j=1|xi−xj|)2≤2(n2−1)3n∑i,j=1(xi−xj)2. Докажите, что оно обращается в равенство только если числа x1,…,xn образуют арифметическую прогрессию.
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число A из отрезка [1, 2] и заставляет программу решать уравнение 3x + A = 0. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем –0,4.
Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он
проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?
Доказать, что последовательность xn = sin(n2) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.
|
|
 |
Условие
Доказать, что последовательность
xn = sin(n2) не стремится к нулю при n,
стремящемся к бесконечности.
Решение
Воспользуемся следующим тригонометрическим неравенством:
|sin((2n + 3) − (2n + 1))| = |sin(2)| ≤ |sin(2n + 3)| + |sin(2n + 1)| < 2ε + 2ε = 4ε,
