ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86502
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Неравенство Коши ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Укажите все пары  (x; y),  для которых выполняется равенство   (x4 + 1)(y4 + 1) = 4x²y².


Решение 1

x4y4 + x4 + y4 + 1 – 4x²y² = 0   ⇔   (x4y4 – 2x²y² + 1) + (x4 – 2x²y² + y4) = 0   ⇔   (x²y² – 1)² + (x² – y²)² = 0.  Значит,  x²y² = 1,  x² = y²,  то есть  |x| = |y| = 1.


Решение 2

(x4 + 1)(y4 + 1) ≥ 2x²·y² = 4x²y²,  причем равенство достигается тогда и только тогда, когда  x² = y² = 1.


Ответ

(1, 1),  (–1. –1),  (1, –1),  (–1, 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2000/01
класс
Класс 8
задача
Номер 3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .