ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97975
Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Куб ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Анджанс А.

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.
Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.


Решение

Каждую грань 20×20 куба можно проткнуть в  19·19 = 361  точке, а поскольку у куба три пары параллельных граней, всего имеется  361·3 = 1083  "возможных протыканий". Допустим, что куб нельзя проткнуть насквозь, то есть каждое из 1083 возможных протыканий заблокировано гранью 2×2 некоторого кирпича. Докажем, что каждое протыкание заблокировано чётным числом кирпичей. Введём иглу до конца и рассмотрим параллелепипед, закрашенный на рисунке.

В нём чётное (даже кратное 20) число единичных кубиков. С другой стороны, его составляют кирпичи 2×2×1 и "обломки" кирпичей 2×1×1 и 1×1×1. Следовательно, число кирпичей, которые наша игла проткнула (равное числу обломков 1×1×1 в параллелепипеде), чётно. Значит, общее число кирпичей не меньше  2·1083 > 2000.  Противоречие.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .