ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98015
Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Раскраски ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фомин Д.

На плоскости дано N прямых  (N > 1),  никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.


Решение

Раскрасим плоскость в 2 цвета – белый и чёрный – так, чтобы соседние (имеющие общий участок границы) части были разного цвета (см. задачу 34930). В каждой точке пересечения прямых расставим по кругу числа 1, –1, 1, –1 так, чтобы единицы стояли в белых областях. Теперь в каждой области напишем сумму чисел, стоящих в ее углах. Очевидно, эта расстановка удовлетворяет условию.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1989
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М1189
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1988/1989
Номер 10
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .