ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98296
Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Теорема косинусов ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.


Решение 1

Отложим на сторонах угла 60° с вершиной O отрезки  OA = a  и  OB = b.  По теореме косинусов и в силу равенства  a² + b² – ab = c²  длина отрезка AB равна c. Так как в треугольнике OAB угол при вершине O средний по величине, то и сторона c средняя, то есть либо  b ≤ c ≤ a,  либо  a ≤ c ≤ b.  В обоих случаях  (a – c)(b – c) ≤ 0.


Решение 2

Данное равенство можно записать как в виде  (a – c)(a + c) = b(a – b),  так и в виде  (b – c)(b + c) = ac(b – a).  Перемножив, получим
(a – c)(b – c)(a + c)(b + c) = – ab(a – b)².  Правая часть, очевидно, неположительна, а множитель  (a + c)(b + c)  в левой части положителен. Следовательно,  (a – c)(b – c) ≥ 0.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 10
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 11
задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .