ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98324
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
[ Доказательство от противного ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади?
(Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)


Решение

Предположим, что такое разрезание возможно. Рассмотрим кусочки, составляющие квадрат. Выберем из них все те, в границу которых входят дуги, которые составляли границу круга или являются дугами того же радиуса r. В квадрате суммы длин этих дуг, к которым кусочки примыкают "изнутри" и "снаружи" (с вогнутой и выпуклой сторон), очевидно, равны. А в круге разность между теми и другими должна равняться длине окружности 2πr. Противоречие.


Ответ

Нельзя.

Замечания

1. Ссылка на теорему о невозможности квадратуры круга (далеко выходящую за рамки школьной программы) ничего не дает, ибо здесь не требовалось пользоваться только циркулем и линейкой. Скажем, не запрещалось вырезать из круга сектор в 20°, а этот угол невозможно построить циркулем и линейкой.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
журнал
Название "Квант"
год
Год 1997
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М1580

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .