Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 181]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116048

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На кольцевом треке 2n велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее n² встреч.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116082

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116830

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Пусть I – центр его вписанной окружности, и пусть X, Y, Z – центры вписанных окружностей треугольников AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника XYZ совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116912

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67247

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прямая Эйлера неравнобедренного треугольника касается вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 181]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями