Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 101]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном
порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) Известно, что область определения функции f(x) – отрезок [–1, 1] и f(f(x)) = – x при всех x, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции f(x).
б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал (–1, 1)? Вся числовая ось?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Окружность S1, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S2, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S1 вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S3 с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход
разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа,
не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными.
Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 101]
Все авторы
>>
Канель-Белов А.Я. 
