Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110047

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Ненулевые числа a и b удовлетворяют равенству  a²b²(a²b² + 4) = 2(a⁶ + b⁶).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110062

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Произвольные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Длины сторон многоугольника равны  a₁, a₂, ..., a_n.  Квадратный трёхчлен  f(x) таков, что  f(a₁) = f(a₂ + ... + a_n).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то  f(A) = f(B).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110085

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Действительные числа x и y таковы, что для любых различных простых нечётных p и q число  x^p + y^q   рационально.
Докажите, что x и y – рациональные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110100

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110125

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями