Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]

Задача 115902

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Акопян А.В.

В треугольнике ABC AB – BC = . Пусть M – середина стороны AC, а BN – биссектриса. Докажите, что ∠BMC + ∠BNC = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116745

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

Дан равносторонний треугольник ABC и прямая l, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116751

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Подобие	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Акопян А.В., Швецов Д.В.

H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64637

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65378

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]