а) Точки P₁ и P₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка P₁P₂.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P₁ и P₂ проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P₁ перпендикулярны прямым, соединяющим точку P₂ с вершинами треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC  (AB > AC)  и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA₁ – высота треугольника ABC. Известно, что  A₁P = A₁Q.  Докажите, что угол PA₁Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности Ω₁ и Ω₂ с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω₁ и Ω₂ соответственно так, что лучи O₁X и O₂Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω₂, а из точки Y – к Ω₁. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.

Прислать комментарий

Решение

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  AC > BD  тогда и только тогда, когда  (AD – BC)(AB – CD) > 0.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AP и BQ – высоты данного остроугольного треугольника ABC. Постройте циркулем и линейкой на стороне AB точку M так, чтобы
∠AQM = ∠BPM.

Прислать комментарий

Решение

Пусть ABCD – трапеция, в которой углы A и B прямые,  AB = AD,  CD = BC + AD,  BC < AD.
Докажите, что угол ADC в два раза больше угла ABE, где E – середина AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]