Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]

Задача 67127

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Общие внешние касательные к окружностям $ABC$ и $ACD$ пересекаются в точке $E$, к окружностям $ABD$ и $BCD$ – в точке $F$. Докажите, что если точка $F$ лежит на прямой $AC$, то точка $E$ лежит на прямой $BD$.

Прислать комментарий Решение

Задача 65736

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени f₁ и g₁, что f + g = f₁ + g₁ или fg = f₁g₁. Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66121

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кузнецов А., Лосев И.

При каких натуральных n для каждого целого k ≥ n найдётся кратное n число с суммой цифр k?

Прислать комментарий Решение

Задача 66153

Темы:	[	Биссектриса угла	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠C = 60°, вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла A выбрана точка A', а на биссектрисе угла B – точка B' так, что AB' || BC и B'A || AC. Прямая A'B' пересекает Ω в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67005

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Центральное проектирование	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кожевников П.А., Кузнецов А.

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]