Страница: 1 [Всего задач: 2]      

Прямая $\ell$, проходящая через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ ($BC > AB$) и параллельная $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная его медиане $BM$, пересекает прямую $\ell$ в точке $F$. Докажите, что длина отрезка $HF$ втрое больше разности отрезков $FE$ и $DH$.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 2]