Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64361

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65931

Темы:   [ Метод ГМТ в пространстве ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где  φ < ^2π/₃.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98328

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

а) Докажите для всех n > 2 неравенство    

б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех  n > 2  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98579

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что  a > 1,  b > 1,  и  [a^m]  отлично от  [bⁿ]  при любых натуральных числах m и n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107814

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа  P(k),  P(k + 1),  ...,
P(k + 1996)  будут составными, если
  а)  n = 1;
  б)  n – произвольное натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями