Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

   Решение

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

   Решение

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC  AA', BB' и CC' – высоты. Точки C_a, C_b симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки A_b, A_c, B_c, B_a. Докажите, что прямые A_bB_a, B_cC_b и C_aA_c параллельны.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n².

Прислать комментарий

Решение

Докажите тождество: 1² + 2² +...+ n² = n(n + 1)(2n + 1).

Прислать комментарий

Решение

Докажите тождество: 1² + 3² +...+ (2n - 1)² = n(2n - 1)(2n + 1).

Прислать комментарий

Решение

Докажите тождество: 1³ + 2³ +...+ n³ = (1 + 2 +...+ n)².

Прислать комментарий

Решение

Докажите тождество: 1 ^. 2 ^. 3 + 2 ^. 3 ^. 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]