а) Пусть m₀ и m₁ – целые числа,  0 < m₁ ≤ m₀.  Докажите, что при некотором  k > 1  существуют такие целые числа a₀, a₁, ..., a_k и m₂, ..., m_k, что
m₁ > m₂ > m₃ > ... > m_k > 0,  a_k > 1,
  m₀ = m₁a₀ + m₂,
  m₁ = m₂a₁ + m₃,
  m₂ = m₃a₂ + m₄,
    ...
  m_k–2 = m_k–1a_k–1 + m_k,
  m_k–1 = m_ka_k,
и  (m₀, m₁) = m_k.

  б) Докажите, что для любого s от  k – 1  до 0 существуют такие числа u_s, v_s, что   m_su_s + m_s+1v_s = d,   где  d = (m₀, m₁).
  В частности, для некоторых u и v выполняется равенство  m₀u + m₁v = d.

   Решение

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 6]      

На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 6]