а) Докажите, что для любого параллелограмма существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их серединах.
б) Докажите, что для любого треугольника существует эллипс, касающийся сторон треугольника в их серединах.

   Решение

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)² точек целочисленной решётки.

   Решение

Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остается равносторонний шестиугольник.
Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

   Решение

Докажите, что для любого натурального N существует N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

   Решение

Через центр O правильного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁.
Докажите, что одно из чисел ¹/_OA1, ¹/_OB1 и ¹/_OC1 равно сумме двух других.

   Решение

Найдите    ( , ).

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 6]      

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 6]