Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Задача
65693
(#9.1)
|
|
Сложность: 3 Классы: 9,10,11
|
Даны квадратные трёхчлены f1(x), f2(x), ..., f100(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена fi(x) выбрали один корень и обозначили его через xi. Какие значения может принимать сумма f2(x1) + f3(x2) + ... + f100(x99) + f1(x100)?
Задача
65694
(#9.2)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
Дан равнобедренный треугольник ABC, AB = BC. В описанной окружности Ω треугольника ABC проведён диаметр CC'. Прямая, проходящая через точку C' параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M – середина отрезка C'P.
Задача
65695
(#9.3)
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?
Задача
65696
(#9.4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет
вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
Задача
65697
(#9.5)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]