ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Задачи:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и  n – 1 > 0  целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, 2002],  взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на n равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остаётся отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

Вниз   Решение


Автор: Храбров А.

Какое из чисел больше:  (100!)!  или  99!100!·100!99!?

ВверхВниз   Решение


В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
  а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1;  A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1;  B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.

ВверхВниз   Решение


Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ лишь то, что многочлен $P(x) + P(-x)$ имеет ровно 45 различных действительных корней. Барон, не зная даже, чему равно $n$, утверждает, что может определить один из коэффициентов $a_n$, ..., $a_1$, $a_0$ (готов указать его номер и значение). Не ошибается ли барон?

ВверхВниз   Решение


На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 1942]      



Задача 112330

Темы:   [ ЕГЭ ]
[ 4.2.1 ]
[ 3.2 ]
[ 3.3 ]
Сложность: 2
Классы: 11

Найдите наибольшее значение функции y = cos x+x-+13 на отрезке [0;] .
Прислать комментарий     Решение


Задача 112331

Темы:   [ ЕГЭ ]
[ 4.2.1 ]
[ 3.2 ]
[ 3.3 ]
Сложность: 2
Классы: 11

Найдите наибольшее значение функции y = 5 cos x+5x-+11 на отрезке [0;] .
Прислать комментарий     Решение


Задача 112332

Темы:   [ ЕГЭ ]
[ 4.2.1 ]
[ 3.2 ]
[ 3.3 ]
Сложность: 2
Классы: 11

Найдите наименьшее значение функции y = 3+-5x-5 cos x на отрезке [0;] .
Прислать комментарий     Решение


Задача 112333

Темы:   [ ЕГЭ ]
[ 4.2.1 ]
[ 3.2 ]
[ 3.3 ]
Сложность: 2
Классы: 11

Найдите наименьшее значение функции y = 4+-11x-11 cos x на отрезке [0;] .
Прислать комментарий     Решение


Задача 112334

Темы:   [ ЕГЭ ]
[ 4.2.1 ]
[ 3.2 ]
[ 3.3 ]
Сложность: 2
Классы: 11

Найдите наименьшее значение функции y = 11+-5· x-10 cos x на отрезке [0;] .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 1942]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам