Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны 3 окружности O₁, O₂, O₃, проходящие через одну точку O. Вторые точки пересечения O₁ с O₂, O₂ с O₃ и O₃ с O₁ обозначим соответственно через A₁, A₂ и A₃. На O₁ берем произвольную точку B₁. Если B₁ не совпадает с A₁, то проводим через B₁ и A₁ прямую до второго пересечения с O₂ в точке B₂. Если B₂ не совпадет с A₂, то проводим через B₂ и A₂ прямую до второго пересечения с O₃ в точке B₃. Если B₃ не совпадет с A₃, то проводим через B₃ и A₃ прямую до второго пересечения с O₁ в точке B₄. Докажите, что B₄ совпадает с B₁.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73677  (#М142)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Степень вершины ] [ Куб ] [ Остовы многогранных фигур ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.

б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73678  (#М143)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполнено следующее условие: если число p – простое и n делится на  p – 1,  то n делится на p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73679  (#М144)

Темы:   [ Разрезания на параллелограммы ] [ Соизмеримость и несоизмеримость ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером
а) 20×15;   б) 5×8;   в) 6,25×15;   г)  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73680  (#М145)

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Хозяин обещает работнику платить в среднем     рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к     Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями