Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]

Задача 60478 (#03.026)

[Числа Ферма]

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ + 1 простое, то a чётно и n = 2^k.
(Числа вида f_k = 2^{2^k} + 1 называются числами Ферма.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 60479 (#03.027)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть f_n = 2^2ⁿ + 1. Докажите, что f_n делит 2^f_n – 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60480 (#03.028)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что числа Ферма f_n = 2^2ⁿ + 1 при n > 1 не представимы в виде суммы двух простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60481 (#03.029)

[Числа Мерсенна]

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то a = 2 и n – простое.
(Числа вида q = 2ⁿ – 1 называются числами Мерсенна.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 60482 (#03.030)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]